Question

已知的三个顶点在抛物线：上，为抛物线的焦点，点为的中点，；
（1）若，求点的坐标；
（2）求面积的最大值.

Answer 1

（1）或；（2）.

试题分析：（1）根据抛物线方程为，写出焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，把代入求得点的坐标，再由求得点的坐标；
（2）设直线的方程为，，，，联立方程组，整理得，先求出的中点的坐标，再由，得出，用弦长公式表示，构造函数，用导数法求的面积的最大值.
（1）由题意知，焦点为，准线方程为，设，
由抛物线的定义知，，得到，代入求得或，
所以或，由得或，
（2）设直线的方程为，，，，
由得，于是，
所以，，
所以的中点的坐标，
由，所以，
所以，因为，
所以，由，，所以，
又因为，
点到直线的距离为，
所以，
记，，令解得，，
所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，
又，
所以当时 ，取得最大值，此时，
所以的面积的最大值为.