Question

（2012•桂林模拟）在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，PA=PD=2，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2

2

．
（1）求证：AB⊥平面PAD；
（2）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用面面垂直的性质，证明线面垂直；
（2）先作出面面角，并给予证明，再计算其余弦值即可．

解答：（1）证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，AB⊥AD
∴AB⊥平面PAD；
（2）设AD的中点为O，PD的中点为M，连接OC，OM，CM

∵PA=PD=2，∴PO⊥AD
在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2

2

∴OC⊥AD，AO=OD=

2

∴PO=OD=

2

∴OM⊥PD
∵Rt△POD≌Rt△POC
∴PO=PC-CD=2
∴CM⊥PD
∴∠OMC为二面角A-PD-C的平面角
∵AB⊥AD，OC∥AB
∴OC⊥OM
∵OM=1，CM=

3

∴cos∠OMC=

OM

CM

=

3

3

∴二面角A-PD-C的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的性质，正确作出面面角，属于中档题．