Question

例2：（1）设不等式2（）²+9+9≤0时，求的最大值和最小值．
（2）设f（x）=|lgx|，a、b是满足的实数，其中0＜a＜b
①求证：a＜1＜b；②求证：2＜4b-b²＜3．

Answer 1

【答案】分析：（1）、由不等式2（）²+9+9≤0，可知，从而导出．再由=（log₂x-1）•（log₂x-3）=（log₂x）²-4log₂x+3=（log₂x-2）²-1可以导出f（x）最大值和最小值．
（2）：①由f（x）=|lgx|，f（a）=f（b）可知|lga|=|lgb|．再由0＜a＜b，y=lgx是增函数，可知-lga=lgb，由此可证a＜1＜b．
②由可知，由此可证2＜4b-b²＜3．
解答：解：（1）、∵不等式2（）²+9+9≤0，∴，∴．∴．
∴=（log₂x-1）•（log₂x-3）=（log₂x）²-4log₂x+3=（log₂x-2）²-1．
故当log₂x=2时，的最小值是-1；当log₂x=0时，的最大值是3．
（2）、①证明：∵f（x）=|lgx|，f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|．
∵0＜a＜b，y=lgx是增函数，∴-lga=lgb，故a＜1＜b．
②证明：∵-lga=lgb，∴，∴ab=1，
∵0＜a＜b，∴．
∵，∴，∴．
∴，∴，∵b＞1，∴2＜4b-b²＜3．
点评：注意对数的性质运用及对数方程的解法．