题目内容

已知实数a，b，c∈R，函数f（x）=ax³+bx²+cx满足f（1）=0，设f（x）的导函数为f′（x），满足f′（0）f′（1）＞0．
（1）求 $数学公式$ 的取值范围；
（2）设a为常数，且a＞0，已知函数f（x）的两个极值点为x₁，x₂，A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），求证：直线AB的斜率 $数学公式$ ．

解：（1）∵f（1）=a+b+c=0，∴b=-（a+c），
∵f′（x）=3ax²+2bx+c，
∴f′（0）=c，f′（1）=3a+2b+c，
∴f′（0）f′（1）=c（3a+2b+c）=c（a-c）=ac-c²＞0，
∴a≠0，c≠0，
∴ $\text{[math]}$ ＞0，
所以0＜ $\text{[math]}$ 1．
（2）令f′（x）=3ax²+2bx+c=0，则 $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ ，
∴k= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
=a（ $\text{[math]}$ ）+b（x₂+x₁）+c
=a[ $\text{[math]}$ ]+b（x₂+x₁）+c
=a（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+b（- $\text{[math]}$ ）+c
=a[（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ （- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ]
= $\text{[math]}$ （- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），
令t= $\text{[math]}$ ，由b=-（a+c）得， $\text{[math]}$ =-1-t，t∈（0，1），
则k= $\text{[math]}$ [-（1+t）²+3t]= $\text{[math]}$ （-t²+t-1），
∵a＞0，-t²+t-1∈（-1，- $\text{[math]}$ ]，∴k∈（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）由f（1）=0得a+b+c=0，∴b=-（a+c），求导数f′（x），把f′（0）f′（1）＞0表示为关于a，c的不等式，进而化为关于 $\text{[math]}$ 的二次不等式即可求得 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（2）令f′（x）=3ax²+2bx+c=0，则 $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ ，把韦达定理代入k= $\text{[math]}$ 可得关于a，b，c的表达式，令t= $\text{[math]}$ ，k可化为关于t的二次函数式，借助（1）问t的范围即可求得k的范围；
点评：本题考查函数在某点取得极值的条件、导数运算及直线斜率，考查转化思想，解决（2）问关键是通过换元转化为关于t的二次函数，从而可利用二次函数性质解决．