Question

4．为迎接2015级新生，合肥一中暑期对教学楼窗户作加固，制作如图所示的窗户框架．窗户框架用料12m，下部为矩形，上部为半圆形，假设半圆半径为xm．
（1）求此框架围成的面积y与x的函数关系式y=f（x），并写出它的定义域；
（2）半圆的半径是多长时，窗户的透光面积最大？并求该最大面积．

Answer 1

分析 （1）下部为矩形，上部为半圆形的框架窗户，分别计算其面积，可得框架围成的面积y与x的函数式y=f （x），根据实际意义，可写出它的定义域；
（2）利用配方法，可求函数的最值．

解答 解：（1）由题意可知，下部为矩形，一边长为2x米，另一边长为$\frac{12-πx-2x}{2}$米，
∴f（x）=$\frac{π{x}^{2}}{2}$+2x•$\frac{12-πx-2x}{2}$=（-$\frac{π}{2}$-2）x²+12x，
由$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{\frac{12-πx-2x}{2}＞0}\end{array}\right.$，可得0＜x＜$\frac{12}{π+2}$，
定义域为：（0，$\frac{12}{π+2}$）；
（2）∵x∈（0，$\frac{12}{π+2}$），函数的图象开口向下，
即有f（x）=-$\frac{π+4}{2}$（x-$\frac{12}{π+4}$）²+$\frac{72}{π+4}$，
∴当x=$\frac{12}{π+4}$时，函数取最大值，
故当半圆半径为$\frac{12}{π+4}$时，窗户的透光面积的最大值为$\frac{72}{π+4}$m²．

点评 本题考查的重点是函数模型的构建及二次函数的最值的求法，解题的关键是正确表示出上、下两部分的面积．