Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，?n∈N^*，S_n+1=2S_n+1．
（Ⅰ）求数列{S_n}的通项公式．
（Ⅱ）对?n∈N^*，设bn=

n

an

，且Tn为数列{bn}前n项和，求证Tn＜4．．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由数列递推式，证明{S_n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，从而可求数列{S_n}的通项公式
（Ⅱ）确定an=2n-1，可得bn=

n

2n-1

，再利用错位相减法求数列的和，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：依题意，?n∈N^*，S_n+1+1=2S_n+1+1=2（S_n+1）
又S₁+1=a₁+1=2≠0，所以{S_n+1}是首项为2、公比为2的等比数列                              …（3分）
所以Sn+1=2n，Sn=2n-1…（5分）
（Ⅱ）证明：对?n∈N^*，an+1=Sn+1-Sn=2na1=1=21-1，所以?n∈N^*，an=2n-1…（8分）
∴bn=

n

2n-1

∴Tn=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

∴

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

…（10分）
两式相减，整理得Tn=2+2×(

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

)-

n

2n-1

=4-

2+n

2n-1

＜4…（14分）．

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查错位相减法求数列的和，考查不等式的证明，确定数列的通项是关键．