Question

(本小题满分16分)

已知函数．

（1）若函数是偶函数，求出的实数的值；

（2）若方程有两解，求出实数的取值范围；

（3）若，记，试求函数在区间上的最大值.

Answer 1

（1）因为函数为偶函数，所以，

即，所以或恒成立，故．……4分

（2）方法一：

当时，有两解，

等价于方程在上有两解，

即在上有两解，………………………………6分

令，

因为，所以故；…………8分

同理，当时，得到；

当时，不合题意，舍去．

综上可知实数的取值范围是．…………………………………10分

方法二：有两解，

即和各有一解分别为，和，…………6分

若，则且，即；………………………………8分

若，则且，即；

若时，不合题意，舍去．

综上可知实数的取值范围是．…………………………………10分

方法三：可用图象，视叙述的完整性酌情给分．

（3）令

①当时，则，

对称轴，函数在上是增函数，

所以此时函数的最大值为．

②当时，，对称轴，

所以函数在上是减函数，在上是增函数，

，，

1)若，即，此时函数的最大值为；

2)若，即，此时函数的最大值为．

③当时，对称轴，

此时，

④当时，对称轴，此时

综上可知，函数在区间上的最大值

……………………………………………………16分