Question

（本小题满分12分）
某建筑物的上半部分是多面体, 下半部分是长方体（如图）. 该建筑物的正视图和侧视图（如图）, 其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成.


（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求该建筑物的体积.

Answer 1

（1）直线与平面所成角的正弦值为.
（2）二面角的余弦值为.（3）建筑物的体积为.

解析试题分析：解法1：（1）作平面，
垂足为，连接，则是直线与平面所成的角.  ………………1分
由于平面平面，
故是直线与平面所成的角.……2分
作，垂足为，连接，
∵平面，∴.
∵平面，平面，
∴平面.
由题意知，
在Rt△中，，
在Rt△ 中，，在Rt△ 中，，
∴直线与平面所成角的正弦值为.        ………………………… 4分
（2）延长交于点，连接，由（1）知平面
∵平面，∴.∵，∴. 
∴是二面角的平面角.        ………………………… 6分
在△中，，∵，∴.
∴二面角的余弦值为.             …………………………… 8分
（3）作交于点，作交于点，由题意知多面体可分割为两个等体积的四棱锥和和一个直三棱柱.
四棱锥的体积为，
直三棱柱的体积为， 
∴多面体的体积为