Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图所示．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（x-）+1，求函数g（x）的单调递增区间；
（3）求f（x）在区间[0，]内的最值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函数的最大值求得A，再由函数的周期性求得ω，再把（0，-1）代入函数的解析式可得φ 的值，从而求得函数的解析式．
（2）由于 g（x）=f（x-）+1=sin[2（x-）-]-1=-sin2x-1，故本题即求函数y=sin2x的减区间．令 2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数g（x）的单调递增区间．
（3）由于 x∈[0，]，再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最值．
解答：解：（1）由函数的最大值为1可得A=1，再由函数的周期性可得 •=，解得ω=2．
再把（0，-1）代入函数的解析式可得-1=sin（2×0+φ），∴φ=2kπ-，k∈z．
再由|φ|＜π，可得 φ=-，故函数的解析式为 f（x）=sin（2x-）．
（2）∵g（x）=f（x-）+1=sin[2（x-）-]-1=sin（2x-π）-1=-sin2x-1，故本题即求函数y=sin2x的减区间．
令 2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈z，解得  kπ+≤x≤kπ+，k∈z，
故函数g（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．
（3）由于 x∈[0，]，∴2x∈[0，]，sin2x∈[0，1]，-sin2x∈[-1 0]，∴-sin2x-1∈[-3，-1]，
故f（x）在区间[0，]内的最大值为-1，最小值为-3．
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，求函数y=Asin（ωx+φ）的单调区间，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．