Question

设正项等比数列{a_n}的首项a₁=

1

2

，前n项和为S_n，且-a₂，a₃，a₁成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）求数列{nS_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）设设正项等比数列{a_n}的公比为q（q＞0），由题有a₁-a₂=2a₃，且a1=

1

2

，
∴a1-a1q=2a1q2，即有2q²+q-1=0，解得q=-1（舍去）或q=

1

2

，
∴an=

1

2n

；
（Ⅱ）因为是首项、公比都为

1

2

的等比数列，故Sn=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

，nSn=n-

n

2n

．
则数列{nS_n}的前n项和 Tn=(1+2+…+n)-(

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

)，

Tn

2

=

1

2

(1+2+…+n)-(

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

)．
前两式相减，得  

Tn

2

=

1

2

(1+2+…+n)-(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)+

n

2n+1

=

n(n+1)

4

-

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

+

n

2n+1

，
即Tn=

n(n+1)

2

+

1

2n-1

+

n

2n

-2．