Question

如图，用半径为R的圆铁皮，剪一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形的漏斗，问圆心角α取什么值时，漏斗容积最大．（圆锥体积公式：，其中圆锥的底面半径为r，高为h）

Answer 1

【答案】分析：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，求出r²+h²=R²，表示出体积表达式，利用导数求出函数的最大值，得到结果．
解答：解：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么r²+h²=R²，
因此，
==．…（3分）．
令V'=0，即，得．…（5分）
当时，V'＞0．
当时，V'＜0．
所以，时，V取得极大值，并且这个极大值是最大值．…（8分）
把代入r²+h²=R²，得．
由Ra=2πr，得
答：圆心角α为弧度时，漏斗容积最大．…（12分）
点评：本题考查圆锥与扇形展开图的关系，体积的计算，考查计算能力，导数的应用，必须注意函数的单调性与最值的关系．