Question

已知复数z₀=1－mi（M＞0），z=x＋yi和ω=x′＋y′i，其中x，y，x′，y′均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有ω=·，|ω|=2|z|．

（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x′和y′用x、y表示的关系式；

（Ⅱ）将（x，y）作为点P的坐标，（x′，y′）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.

当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；

（Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由.

Answer 1

答案：
提示：

解：（Ⅰ）由题设，|ω|=|·|=|z0||z|=2|z|， ∴|z0|=2， 于是由1＋m2=4，且m＞0，得m=， 因此由x′＋y′i=·， 得关系式 （Ⅱ）设点P（x，y）在直线y=x+1上，则其经变换后的点Q（x′，y′）满足 消去x，得y′=（2－）x′－2＋2， 故点Q的轨迹方程为y=（2－）x－2＋2． （Ⅲ）假设存在这样的直线， ∵平行坐标轴的直线显然不满足条件， ∴所求直线可设为y=kx+b（k≠0）. ∵该直线上的任一点P（x，y），其经变换后得到的点Q（x＋y，x－y）仍在该直线上， ∴x－y=k（x＋y）＋b， 即－（k＋1）y=（k－）x＋b， 当b≠0时，方程组无解， 故这样的直线不存在. 当b=0，由， 得k2＋2k=0， 解得k=或k=， 故这样的直线存在，其方程为y=x或y=x.