Question

设椭圆E（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，A是椭圆E上一点，AF₁⊥F₁F₂，原点到直线AF₂的距离是．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率e；
（Ⅱ）若△AF₁F₂的面积是e，求椭圆E的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若直线l：y=x+m与椭圆E交于B、C两点，问：是否存在实数m使∠BF₂C为钝角？如果存在，求出m的范围；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设F₁（-c，0），F₂（c，0），由AF₁⊥F₁F₂，设A（-c，y），（y＞0），由点A在椭圆上，知，从而得，直线AF₂的方程为，由此能求出椭圆E的离心率e．
（Ⅱ）由题设，从而能得到所求椭圆方程．
（Ⅲ）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），将直线y=x+m代入并化简得3x²+4mx+2m²-2=0，由韦达定理和根的判别式能够导出存在满足条件．
解答：解：（Ⅰ）设F₁（-c，0），F₂（c，0），∵AF₁⊥F₁F₂，不妨设A（-c，y），（y＞0），
又∵点A在椭圆上，∴，从而得，直线AF₂的方程为，
整理可得b²x+2acy-b²c=0，由题设，原点O到直线AF₂的距离为，
即，将c²=a²-b²代入上式化简得a²=2b²，∴a²=2（a²-c²），，．
（Ⅱ）由题设，∴，所求椭圆方程为．
（Ⅲ）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），将直线y=x+m代入并化简得3x²+4mx+2m²-2=0，由韦达定理知，，
且△=（4m）²-4×3×2（m²-1）＞0，∴，由题设∠BF₂C是钝角，
即．∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂＜0，∴2x₁x₂+（m-1）（x₁+x₂）+m²+1＜0，
∴，∴3m²+4m-1＜0，
解得，上式满足，
故存在满足条件．
点评：本题考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的求法，并判断实数m是否存在，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．