Question

在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，BD₁交平面ACB₁于点E，求证：

(1)BD₁⊥平面ACB₁；

(2)BE=ED₁.

Answer 1

证明:

∵

∴

∴BD₁⊥AC.

同理可证BD₁⊥AB₁，

于是BD₁⊥平面ACB₁.

(2)设底面正方形的对角线AC、BD交于点M，则对于空间任意一点O，设=b,=m,=b₁,=d₁，则上述等式可改写成2(m-b)=d₁-b₁或b₁+2m=d₁+2b.记此即表明，由e向量所对应的点E分线段B₁M及D₁B各成λ(=2)之比.所以点E既在线段B₁M面ACB₁上又在线段D₁B上，所以点E是D₁B与平面ACB₁的交点，此交点E将D₁B分成2与1之比，即D₁E∶EB=2∶1，即BE=ED₁.