题目内容
已知A，B是圆x2+y2=4上满足条件
的两个点，其中O是坐标原点，分别过A，B作x轴的垂线段，交椭圆x2+4y2=4于A1，B1点，动点P满足
．
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设S1和S2分别表示△PAB和△B1A1A的面积，当点P在x轴的上方，点A在x轴的下方时，求S1+S2的最大值。
的两个点，其中O是坐标原点，分别过A，B作x轴的垂线段，交椭圆x2+4y2=4于A1，B1点，动点P满足．(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设S1和S2分别表示△PAB和△B1A1A的面积，当点P在x轴的上方，点A在x轴的下方时，求S1+S2的最大值。
解：(Ⅰ)设
，则
，①
，②
从而
，
由于
，所以
，进而有
，③
根据
可得
，
即
，
由④2+4×⑤2，并结合①②③，得
，
所以，动点P的轨迹方程为
。
(Ⅱ)根据(Ⅰ)
，
所以直线AB的方程为
，
即
，
从而点
到直线AB的距离为
又因为
，
所以，
，
而
，
所以，
，
由①+②-2×③得
，
从而有
当且仅当
时取等号，
所以，
，
即S1+S2的最大值为2。
，则，①，②从而
，由于
，所以，进而有，③根据
可得，即
，由④2+4×⑤2，并结合①②③，得
，所以，动点P的轨迹方程为
。(Ⅱ)根据(Ⅰ)
，所以直线AB的方程为
，即
，从而点
到直线AB的距离为又因为
，所以，
，而
，所以，
，由①+②-2×③得
，从而有
当且仅当
时取等号，所以，
，即S1+S2的最大值为2。
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