Question

已知圆C₁：x²+y²+2x+2y-8=0与圆C₂：x²+y²-2x+10y-24=0相交于两点，
（1）求公共弦AB所在的直线方程；
（2）求圆心在直线AB上，且经过A，B两点的圆的方程；
（3）求经过A，B两点且面积最小的圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）写出过两个圆的方程圆系方程，令λ=-1即可求出公共弦所在直线方程．
（2）欲求圆心在直线上，且经过A，B两点的圆的方程，即求出以线段AB的中点为圆心的圆的方程即可．
（3）经过A，B两点且面积最小的圆即为以AB为直径的圆，与（2）的圆是相同的，进而确定出所求圆的方程．
解答：解：（1）经过圆C₁：x²+y²+2x+2y-8=0与圆C₂：x²+y²-2x+10y-24=0的公共点的圆系方程为：
x²+y²+2x+2y-8+λ（x²+y²-2x+10y-24）=0
令λ=-1，可得公共弦所在直线方程：x-2y+4=0；
（2）由，
解得或，
∴A，B两点的（-4，0），（0，2），
其中点的坐标为（-2，1），|AB|=，
故所求圆心为（-2，1），半径为，
圆的方程为：（x+2）²+（y-1）²=5；
即x²+y²+4x-2y=0．
（3）经过A，B两点且面积最小的圆即为以AB为直径的圆，
与（2）的圆是相同的．
则所求圆的方程为：x²+y²+4x-2y=0．
点评：本题是基础题，考查圆系方程的有关知识，公共弦所在直线方程，考查计算能力．此题考查了直线与圆相交的性质，根据题意设出所求圆的方程，找出圆心坐标，得出圆心在直线2x+y+4=0上时面积最小是解本题的关键．