题目内容
正四棱锥相邻两个侧面所成的二面角的平面角为α，侧面与底面的二面角的平面角为β，则2cosα+cos2β的值是（ ）A．1
B．2
C．-1
D．
【答案】分析：设正四棱锥S-ABCD的底面边长为a，侧棱长为b，作出两个二面角的平面角，求解即可．
解答：
解：设正四棱锥S-ABCD的底面边长为a，侧棱长为b，如图
过S做SE⊥AB与E，SO⊥底面ABCD与O，连EO，则∠SEO即为侧面与底面所成二面角的平面角，即为β，
在三角形SEO中，SE2=
，OE=
，所以cos2β=
，cos2β=2cos2β-1=
-1
过B做BH⊥SA与H，连CH，由△SAB≌△SAC，所以CH⊥SA，则角BHC即为两个侧面所成的二面角的平面角，即α，
在△BCH中，BC=a，BH=CH=
，由余弦定理可得cosα=
，
所以2cosα+cos2β=2（cosα+cos2β ）-1=0-1=-1
故选C
点评：本题考查二面角的做法和求解、解三角形知识，考查空间想象能力和运算能力．
解答：
解：设正四棱锥S-ABCD的底面边长为a，侧棱长为b，如图过S做SE⊥AB与E，SO⊥底面ABCD与O，连EO，则∠SEO即为侧面与底面所成二面角的平面角，即为β，
在三角形SEO中，SE2=
，OE=，所以cos2β=，cos2β=2cos2β-1=-1过B做BH⊥SA与H，连CH，由△SAB≌△SAC，所以CH⊥SA，则角BHC即为两个侧面所成的二面角的平面角，即α，
在△BCH中，BC=a，BH=CH=
，由余弦定理可得cosα=，所以2cosα+cos2β=2（cosα+cos2β ）-1=0-1=-1
故选C
点评：本题考查二面角的做法和求解、解三角形知识，考查空间想象能力和运算能力．
练习册系列答案
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| A、0 | ||
| B、2 | ||
| C、1 | ||
D、
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| A、1 | ||
| B、2 | ||
| C、-1 | ||
D、
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