Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=1，CC₁=2，点D、E分别是AA₁、CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：AE∥平面BC₁D；
（Ⅱ）证明：平面BC₁D⊥平面BCD；
（Ⅲ）求多面体A₁B₁C₁BD的体积V．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先证明AEC₁D是平行四边形，可得AE∥DC₁，再根据直线和平面平行的判定定理证得 AE∥平面BC₁D．
（Ⅱ）先证明BC⊥平面ACC₁A₁，可得BC⊥C₁D．再利用勾股定理证明所以DC₁⊥DC，可得C₁D⊥平面BCD．而C₁D?平面BC₁D，利用2个平面垂直的判定定理证得
平面BC₁D⊥平面BCD．
（Ⅲ）取A₁B₁中点F，由A₁C₁=B₁C₁知C₁F⊥A₁B₁，可得C₁F⊥面A₁B₁BD．再由 V=

1

3

•SA1B1BD•C₁F，运算求得结果．

解答：（Ⅰ）证明：在矩形ACC₁A₁中，由C₁E∥AD，C₁E=AD，可得AEC₁D是平行四边形．…（1分）
所以AE∥DC₁，…（2分）
又AE不在平面BC₁D内，C₁D?平面BC₁D，所以AE∥平面BC₁D．…（4分）
（Ⅱ）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，∴BC⊥CC₁，AC⊥BC．
∵CC₁∩AC=C，所以BC⊥平面ACC₁A₁．…（6分）
而C₁D?平面ACC₁A₁，所以BC⊥C₁D．…（7分）
在矩形ACC₁A₁中，DC=DC₁=

2

，CC₁=2，从而DC²+DC12=CC12，
所以DC₁⊥DC．…（8分）
又DC∩BC=C，所以C₁D⊥平面BCD，…（9分）
而C₁D?平面BC₁D，所以平面BC₁D⊥平面BCD．  …（10分）
（Ⅲ）取A₁B₁中点F，由A₁C₁=B₁C₁知C₁F⊥A₁B₁，…（11分）
又直三棱柱中侧面ABA₁B₁⊥底面A₁B₁C₁且交线为A₁B₁，故C₁F⊥面A₁B₁BD，…（12分）
∴V=

1

3

•SA1B1BD•C₁F=

1

3

•

1+2

2

•

2

•

2

2

=

1

2

．…（14分）

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的应用，求棱锥的体积，属于中档题．