Question

已知直线l与椭圆

x2

36

+

y2

9

=1交于A和B两点，点（4，2）是线段AB的中点，则直线l的方程是

 

．

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

x 2 1

36

+

y 2 1

9

=1，

x 2 2

36

+

y 2 2

9

=1．两式相减，再利用直线l的斜率k=

y1-y2

x1-x2

．中档坐标公式

x1+x2 2 =4 y1+y2 2 =2

，即可得出．
此法使用了“点差法”．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴直线l的斜率k=

y1-y2

x1-x2

．
∵点（4，2）是线段AB的中点，∴

x1+x2 2 =4 y1+y2 2 =2

，
∵此两点在椭圆上，∴

x 2 1

36

+

y 2 1

9

=1，

x 2 2

36

+

y 2 2

9

=1．
∴

(x1+x2)(x1-x2)

36

+

(y1+y2)(y1-y2)

9

=0，
∴

8

36

+

4k

9

=0，解得k=-

1

2

．
∴直线l的方程为y-2=-

1

2

(x-4)，化为x+2y-8=0．
故答案为x+2y-8=0．

点评：本题考查了“点差法”解决中点弦问题，属于中档题．