Question

【题目】如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，平面，，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由题意知为，利用等腰三角形三线合一的思想得出，由平面可得出，再利用直线与平面垂直的判定定理可得出平面；

（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，计算出平面和平面的法向量，然后利用空间向量法计算出二面角的余弦值.

（1）因为四边形是平行四边形，，所以为的中点.

又，所以.

因为平面，平面，所以.

又，平面，平面，故平面；

（2）因为，以为原点建立空间直角坐标系如下图所示，

设，则、、、，

所以，，，

设平面的一个法向量为，则，所以，

得，令，则，，所以.

同理可求得平面的一个法向量，

所以.

又分析知，二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.