Question

已知函数f（x）=x-1-lnx
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f（2），再根据导数的几何意义，求出该点的导数值，即得曲线在此点处的切线的斜率，然后用点斜式写出切线方程即可
（Ⅱ）令导数大于0解出增区间，令导数小于0，解出函数的减区间，然后由极值判断规则确定出极值即可．
（Ⅲ）由于f（x）≥bx-2恒成立，得到b≤1+

1

x

-

lnx

x

在（0，+∞）上恒成立，构造函数g（x）=1+

1

x

-

lnx

x

，b≤g（x）_min即可．

解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），f′(x)=1-

1

x

，
则f′(2)=

1

2

，f（2）=1-ln2，
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-(1-ln2)=

1

2

(x-2)，
即x-2y-2ln2=0；
（Ⅱ）f′(x)=1-

1

x

，
令f′（x）＞0，得x＞1，
列表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	0	↗

∴函数y=f（x）的极小值为f（1）=0；
（Ⅲ）依题意对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立
等价于x-1-lnx≥bx-2在（0，+∞）上恒成立
可得b≤1+

1

x

-

lnx

x

在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=1+

1

x

-

lnx

x

，g′(x)=

lnx-2

x2

令g′（x）=0，得x=e²
列表：

x	（0，e2）	e2	（e2，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	1- 1 e2	↗

∴函数y=g（x）的最小值为g(e2)=1-

1

e2

，
根据题意，b≤1-

1

e2

．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，着重考查分类讨论思想与构造函数思想的应用，体现综合分析问题与解决问题能力，属于中档题．