Question

设平面向量

a

，

b

满足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=0，

x

=

a

+(t2-k)

b

，

y

=-s

a

+t

b

，其中，k，t，s∈R．
（1）若

x

⊥

y

，求函数关系式s=f（t）；
（2）在（1）的条件下，若k=3，t∈[-2，3]，求s的最大值；
（3）实数k在什么范围内取值时？对该范围内的每一个确定的k值，存在唯一的实数t，使

x

•

y

=2-s．

Answer 1

分析：（1）由已知中平面向量

a

，

b

满足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=0，

x

=

a

+(t2-k)

b

，

y

=-s

a

+t

b

，若

x

⊥

y

，则

x

•

y

=0，代入整理可得函数关系式s=f（t）；
（2）令k=3，可得s=t³-3t，则s'=3t²-3，分析函数的单调性可得t∈[-2，3]时，s的最大值．
（3））由已知可得

x

•

y

=2-s，故-s+t³-kt=2-s，t³-2=kt，分别分析当t=0时和当t≠0时，等式成立的条件，可得结论．

解答：解：（1）∵设平面向量

a

，

b

满足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=0，
又∵

x

=

a

+(t2-k)

b

，

y

=-s

a

+t

b

，
当

x

⊥

y

时，

x

•

y

=0
即[

a

+(t2-k)

b

]•[-s

a

+t

b

]=0
即-S+t³-kt=0
故s=t³-kt…（4分）
（2）∵k=3，
∴s=t³-3t，s'=3t²-3，
由s'=0⇒t₁=-1，t₂=1，
f（t）在（-∞，-1）上递增，（-1，1）上递减，（1，+∞）递增，
又∵f（-1）=2，f（3）=18，
∴s的最大值为18                                     …（10分）
（3）∵

x

•

y

=2-s，
∴-s+t³-kt=2-s，t³-2=kt，…（12分）
当t=0时，等式不成立；
当t≠0时，k=t2-

2

t

，k′=2t+

2

t2

=

2(t3+1)

t2

=0⇒t=-1
k（t）在（-∞，-1）上递减，（-1，0）上递增，（0，+∞）递增，
结合图象可知k＜3时符合要求．…（16分）

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，导数法判断函数的单调性，导数法求函数在定区间上的最值，其中根据平面向量的数量积运算公式，求出s关于变量t函数的解析式，是解答本题的关键．