Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，AA₁=

2

，D、E分别为BB₁、AC的中点．
（1）证明：AC⊥平面BDE
（2）求二面角A₁-AD-C₁的大小．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，证明

AC

⊥

BE

，

AC

⊥

BD

，即可证明AC⊥平面BDE；
（2）确定平面AC₁D的一个法向量、平面AA₁D的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A₁-AD-C₁的大小．

解答：（1）证明：以BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB₁所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），A1(1，0，

2

)，C（0，1，0），C1(0，1，

2

)，D(0，0，

2

2

)，E(

1

2

，

1

2

，0)
∴

AC

=(-1，1，0)，

BE

=(

1

2

，

1

2

，0)，

BD

=(0，0，

2

2

)
∴

AC

•

BE

=(-1，1，0)•(

1

2

，

1

2

，0)=0，

AC

•

BD

=(-1，1，0)•(0，0，

2

2

)
即

AC

⊥

BE

，

AC

⊥

BD

，而BE∩BD=B，
∴AC⊥平面BDE；
（2）解：设平面AC₁D的一个法向量是

n

=(x，y，z)，
则由

n ⊥ AD n ⊥ C1D

，∴

-x+ 2 2 z=0 -y- 2 2 z=0

令x=1，则

n

=(1，-1，

2

)，
又平面AA₁D的一个法向量是

m

=

BC

=(0，1，0)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=-

1

2

∴＜

m

，

n

＞=120°，
由图可知二面角为锐角，故A₁-AD-C₁的大小为60°．

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．