Question

【题目】已知：函数.

（1）此函数在点处的切线与直线平行，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，若，恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）3.

【解析】

（1）对函数进行求导，求出在点处切线的斜率，求出直线的斜率，根据两直线平行，得到等式，求出实数的值。

（2）方法一：在条件下，先取特殊值满足不等式，求出的最大值，再证明当时，不等式恒成立；

方法二：当时，恒成立，转化为对恒成立，求的最小值大于.通过二次求导法，求出的最小值的取值范围，最后求出的最大值。

（1）

点处的切线与直线平行

（2）法一：当时，恒成立，

令，有，

又为正整数，的最大值不大于.

下面证明当时，恒成立，

即证当时，恒成立.

令，

则，当时，；

当时，，当时，

取得极小值.

当时，恒成立.

法二：当时，恒成立，

即对恒成立.

即的最小值大于.

记，

则，在上连续递增，

又，

存在唯一实根，且满足：，

由时，，；

时，，知；

的最小值为

的最大值为3, 的最大值为3.