Question

（Ⅰ）求证：

sinx

1-cosx

=

1+cosx

sinx

；
（Ⅱ）化简：

tan(3π-α)

sin(π-α)sin( 3 2 π-α)

+

sin(2π-α)cos(α- 7π 2 )

sin( 3π 2 +α)cos(2π+α)

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（法一）由比例性质（1-cosx）•（1+cosx）=1-cos²x=sin²x可证；
（法二）利用sin²x+cos²x=1，移项整理即可；
（法三）作差整理，最后证得差为0即可．
（Ⅱ）利用诱导公式与三角函数间的关系式即可证得结论．

解答：（Ⅰ）证明：（法一）利用比例性质
∵（1-cosx）•（1+cosx）=1-cos²x=sin²x
∴

sinx

1-cosx

=

1+cosx

sinx

…（5分）
（法二）
∵sin²x+cos²x=1，
∴1-cos²x=sinx•sinx，即（1-cosx）•（1+cosx）=sinx•sinx
又∵（1-cosx）≠0，sinx≠0
∴

sinx

1-cosx

=

1+cosx

sinx

…（5分）
（法三）
∵

sinx

1-cosx

-

1+cosx

sinx

=

sin2x-(1-cosx)(1+cosx)

(1-cosx)sinx

=

sin2x-(1-cos2x)

(1-cosx)sinx

=

sin2x-sin2x

(1-cosx)sinx

=0
∴

sinx

1-cosx

=

1+cosx

sinx

…（5分）
（Ⅱ）原式=

tan[2π+(π-α)] sinαsin[π+( π 2 -α)]

+

sin(-α)cos[4π-( π 2 -α)] sin[π+( π 2 +α)]cosα

=

tan(π-α)

-sin( π 2 -α)sinα

+

sinαcos( π 2 -α) sin( π 2 +α)cosα

=

tanα

cosαsinα

-

sin2α

cos2α

=

1-sin2α

cos2α

=

cos2α

cos2α

=1．…（12分）

点评：本题考查三角函数恒等式的证明，着重考查诱导公式与同角三角函数间的基本关系，考查三角函数的化简求值，属于中档题．