题目内容
设x＞0，求证：sinx+cosx＞1+x－x2.
证明：设f（x）=sinx+cosx－1－x+x2，
则f′（x）=cosx－sinx－1+2x，
只要证f′（x）＞0.
设g（x）=cosx－sin x－1+2x，
g′（x）=－sinx－cosx+2=（1－sinx）+（1－cosx）.
∵sinx=1时cosx=0，cosx=1时sinx=0，
∴1－sinx与1－cosx不能同时为0.
∴g′（x）＞0.
∴g（x）当x＞0时是增函数.又g（x）在R上是连续函数且g（0）=0，
∴g（x）＞g（0）=0，即f′（x）＞0.
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（0）=0.
∴x＞0时，sinx+cosx＞1+x－x2.
点评：证明f′（x）＞0又引进函数g（x），这也是通过分析得到的证明思路.
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