Question

已知函数（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；
（3）当x∈（r，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数r与a的值

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知条件得f（-x）+f（x）=0对定义域中的x均成立，化简即m²x²-1=x²-1对定义域中的x均成立，解出m，并代入题目进行检验．
（2）将对数的真数进行常数分离，先判断真数的单调性，再根据底数的范围确定整个对数式得单调性．
（3）由题意知，（r，a-2）?（-∞，-1）  或（r，a-2）?（1，+∞），
当（r，a-2）?（-∞，-1），0＜a＜1，所以f（x）在（r，a-2）为增函数，，

当（r，a-2）?（1，+∞），a＞3．所以f（x）在（r，a-2）为减函数，则．
解答：解：（1）由已知条件得f（-x）+f（x）=0对定义域中的x均成立．
所以，
即，
即m²x²-1=x²-1对定义域中的x均成立．
所以m²=1，即m=1（舍去）或m=-1．
（2）由（1）得，
设，
当x₁＞x₂＞1时，，所以t₁＜t₂．
当a＞1时，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．所以当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．
同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）因为函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
所以①：r＜a-2＜-1，0＜a＜1．
所以f（x）在（r，a-2）为增函数，要使值域为（1，+∞），
则（无解）
②：1＜r＜a-2，所以a＞3．所以f（x）在（r，a-2）为减函数，要使f（x）的值域为（1，+∞），
则
所以，r=1．
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及函数的特殊点