Question

已知锐角△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，定义向量

m

=(2sinB，

3

)，

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)，且

m

⊥

n

．
（1）求函数f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的对称中心；
（2）若sin²B=sinAsinC，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）由数量积的定义和垂直故选可得关于B的三角方程，结合B的范围可得B值，进而可得函数f（x）的解析式，进而可得对称中心；
（2）由已知结合正余弦定理可得ac=a2+c2-2ac×

1

2

，进而可得a=c，结合B=

π

3

可得三角形的形状．

解答：解：（1）∵

m

=(2sinB，

3

)，

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)，且

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=

m

=2sinB×(2cos2

B

2

-1)+

3

×cos2B=0
即sin2B+

3

cos2B=0∴tan2B=-

3

，
又B是锐角，∴2B∈（0，π）∴2B=

2

3

π，即B=

π

3

∴f(x)=sin2xcosB-cos2xsinB=sin(2x-B)=sin(2x-

π

3

)
令2x-

π

3

=kπ，k∈Z，解得x=

π

6

+

kπ

2

，k∈Z
∴函数f（x）的对称中心是(

π

6

+

kπ

2

，0)，k∈Z
（2）∵sin²B=sinAsinC，由正弦定理得 b²=ac
又由（1）可知B=

π

3

，由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB
代入数据可得ac=a2+c2-2ac×

1

2

，即（a-c）²=0
解得a=c，又B=

π

3

∴△ABC为等边三角形

点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及两角和与差的三角函数公式以及三角形形状的判断，属中档题．