Question

【题目】如图，四棱锥中，底面为矩形．平面，分别为的中点，与平面所成的角为．

（1）证明：为异面直线与的公垂线；

（2）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

（1）要证为异面直线与的公垂线，即证，，转证线面垂直即可；（2）以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到结果.

（1）连接、交于点，连接、．

因为四边形为矩形，且、分别是、的中点，

所以，且．

又平面，所以平面，所以．

又，，所以平面，所以．

因为与平面所成的角为，所以，

从而．所以．

取的中点，连接、，则由、分别为、的中点，

从而，从而四边形为平行四边形．

又由，知．

又平面，所以．

又，从而平面．

从而平面．平面，从而．

综上知为异面直线与的公垂线．

（2）因为，设，则，

从而，所以，

以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，

则、、、，

从而，，．

设平面的一个法向量为，则，

令，从而得．

同理，可求得平面的一个法向量为．

设二面角的平面角为，从而．