题目内容
如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.
见解析
【解析】证明：方法一：过E作EM⊥AB于M，过F作FN⊥BC于N，连接MN，如图所示，则EM∥BB1，FN∥BB1，
∴EM∥FN.
∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，
∴AE＝BF，
∴
＝
，
＝
＝
，
∴
＝
.
又∵BB1＝CC1，∴EM＝FN，
∴四边形EMNF是平行四边形，
∴EF∥MN.
又∵EF?平面ABCD，MN?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD.
方法二：过点E作EH⊥BB1于点H，连接FH，如图所示，则EH∥AB，所以
＝
.
∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，
∴
＝
，
∴
＝
，
∴FH∥B1C1.
∵B1C1∥BC，∴FH∥BC.
∵EH∩FH＝H，
∴平面EFH∥平面ABCD.
∵EF?平面EFH，
∴EF∥平面ABCD.
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智趣寒假作业云南科技出版社系列答案
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