Question

（本题满分14分）

已知函数的图象经过点和，记（）

（1）求数列的通项公式；

（2）设，若，求的最小值；

（3）求使不等式对一切均成立的最大实数.

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2）  ； （3）. 

【解析】本试题主要是借助于函数为背景求解数列的通项公式，并利用错位相减法得到数列的和，同时利用放缩法得到不等式的证明。

（1）因为函数的图象经过点和，记，联立方程组得到a,b的值。

（2）由（1）得，然后利用错位相减法得到数列的和。

（3）要使不等式对一切均成立，则可以分离参数p，得到关于n的表达式，进而求解数列的最值，得到参数p的范围。

解：（1）由题意得，解得，            …………2分

        …………4分

（2）由（1）得，         ①

  ②    ①-②得

 . ，        …………7分

设，则由

得随的增大而减小，随的增大而增大。时， 

又恒成立，     ………10分

 （3）由题意得恒成立

  记，则

        …………12分

是随的增大而增大 

的最小值为，，即.    …………14分