Question

函数f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)sin(x+

π

4

)，x∈[-

π

12

，

π

2

]的值域是

[-

3

2

，1]

．

Answer 1

分析：利用两角和与差的正弦余弦函数化简函数的表达式，再利用二倍角公式，把函数解析式化简为sin（2x-

π

6

），根据x∈[-

π

12

，

π

2

]，求出2x-

π

6

的范围，求出sin（2x-

π

6

）的最值即可求得函数f（x）的值域．

解答：解：函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）
=

1

2

sin2x+

3

2

sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin²x-cos²x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=sin（2x-

π

6

），
∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，
因为f（x）=sin（2x-

π

6

）在区间[-

π

12

，

π

3

]上单调递增．
在区间[

π

3

，

π

2

]单调递减，所以当x=

π

3

，f（x）取最大值l．
又∵f（-

π

12

）=-

3

2

＜f（

π

2

）=

1

2

，
当x=-

π

12

时，f（x）取最小值-

3

2

，
所以函数f（x）在区间上的值域为[-

3

2

，1]．
故答案为：[-

3

2

，1]

点评：本题考查了三角函数式的化简求值，以及正弦函数的图象与性质，涉及的知识有两角和与差的正弦、余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握三角函数的基本性质，是解三角函数问题的关键．