Question

已知函数f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x，
（1）化简f（x）；
（2）若不等式f（x）-m＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=

1

3

，f(

C

2

)=-

1

4

，求sinA．

Answer 1

分析：（1）利用两角和的余弦公式、二倍角公式与辅助角公式，化简可得f(x)=-

3

2

sin2x+

1

2

；
（2）根据题意可得[f（x）]_max＜2+m在[

π

4

，

π

2

]上恒成立．因此利用正弦函数的图象与性质算出f（x）在区间[

π

4

，

π

2

]上的最大值，从而建立关于m的不等式，解之即可得到实数m的取值范围；
（3）由cosB=

1

3

利用同角三角函数的关系，算出sinB=

2 2

3

，根据f(

C

2

)=-

1

4

解出角C=

π

3

，再根据诱导公式与两角和的正弦公式加以计算，可得sinA的值．

解答：解：（1）f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x=cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

+

1

2

（1-cos2x）
=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+

1

2

-

1

2

cos2x=-

3

2

sin2x+

1

2

∴化简得：f(x)=-

3

2

sin2x+

1

2

；
（2）∵不等式f（x）-m＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，
∴[f（x）]_max＜2+m在[

π

4

，

π

2

]上恒成立．
由（1）得f(x)=-

3

2

sin2x+

1

2

∵当x∈[

π

4

，

π

2

]时，2x∈[

π

2

，π]，可得sin2x∈[0，1]，
∴f(x)=-

3

2

sin2x+

1

2

∈[

1- 3

2

，

1

2

]．
因此

1

2

＜2+m，
解得m＞-

3

2

；
（3）∵cosB=

1

3

＜

1

2

，且B为△ABC的一个内角，
∴sinB=

1-cos2B

=

2 2

3

且B∈(

π

3

，

π

2

)
∵f(

C

2

)=-

3

2

sinC+

1

2

=-

1

4

，
解得sinC=

3

2

，
∴结合C∈（0，

2π

3

），可得C=

π

3

，
∴cosC=

1

2

∵△ABC中，B+C=π-A，
∴sinA=sin（π-A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

2 2

3

×

1

2

+

1

3

×

3

2

=

2 2 + 3

6

．

点评：本题给出三角函数的表达式，依此求解不等式恒成立的问题，在△ABC中求sinA的值．着重考查了三角恒等变换公式、同角三角函数的基本关系、三角函数的图象与性质、不等式恒成立等知识，属于中档题．