Question

已知函数f（x）=x²，g（x）=x-1．
（1）若?x∈R使f（x）＜b•g（x），求实数b的取值范围；
（2）设F（x）=f（x）-mg（x）+1-m-m²，且|F（x）|在[0，1]上单调递增，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把?x∈R使f（x）＜b•g（x），转化为?x∈R，x²-bx+b＜0，再利用二次函数的性质得△=（-b）²-4b＞0，解出实数b的取值范围；
（2）先求得F（x）=x²-mx+1-m²，再对其对应方程的判别式分△≤0和当△＞0两种情况，分别找到满足|F（x）|在[0，1]上单调递增的实数m的取值范围，最后综合即可．

解答：解：（1）由?x∈R，f（x）＜b•g（x），得?x∈R，x²-bx+b＜0，
∴△=（-b）²-4b＞0，解得b＜0或b＞4，
∴实数b的取值范围是（-∞，0）∪（4，+∞）；
（2）由题设得F（x）=x²-mx+1-m²，
对称轴方程为x=

m

2

，△=m²-4（1-m²）=5m²-4，
由于|F（x）|在[0，1]上单调递增，则有：
 ①当△≤0即-

2 5

5

＜m＜

2 5

5

时，有

m 2 ≤0 - 2 5 5 ≤m≤ 2 5 5

，解得-

2 5

5

≤m≤0，
 ②当△＞0即m＜-

2 5

5

或m＞

2 5

5

时，设方程F（x）=0的根为x₁，x₂（x₁＜x₂），
若m＞

2 5

5

，则

m

2

＞

5

5

，有

m/2≥1 x1＜0?F(0)=1-m2＜0.

解得m≥2；
若m＜-

2 5

5

，即

m

2

＜-

5

5

，有x₁＜0，x₂≤0；得F（0）=1-m²≥0，有-1≤m≤1，
∴-1≤m＜-

2 5

5

；
综上所述，实数m的取值范围是[-1，0]∪[2，+∞）．

点评：本题的（1）考查了存在性问题，存在性问题是只要能找到即可，并不要求所有的都成立．