题目内容
(本小题满分14分)设函数
在
上的导函数为
，在上的导函数为
，若在上，
恒成立，则称函数
在上为“凸函数”．已知
．
(1)若为区间
上的“凸函数”，试确定实数
的值；
(2)若当实数满足
时，函数在上总为“凸函数”，求
的最大值．
【解析】本小题主要考查函数、导数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识.
解：由函数
得，
…………3分
(Ⅰ) 若
为区间
上的“凸函数”，则有
在区间上恒成立，由二次函数的图像，当且仅当
，
即
． …………………………………………………7分
(Ⅱ)当
时，恒成立
当时，
恒成立． ……………………………………………………………8分
当
时，
显然成立。 …………………………………9分
当
，
∵
的最小值是
．
∴
．
从而解得
…………………………………………11分
当
，
∵的最大值是
，∴
，
从而解得
． ……………………………13分
综上可得
，从而
……………14分
练习册系列答案
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(a＞b＞0)，曲线C2的方程为y=
，且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。（1）试用a表示点P的坐标；（2）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S(a)的值域；（3）记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
=2，点（
）在函数
的图像上，其中
=
.
}是等比数列；
，求
及数列{
}的通项公式；
，求数列{
}的前n项和
，并证明
.
天(
)的销售价格(单位：元)为
，第
，已知该商品成本为每件25元.
关于第
的图像在点
处的切线与直线
平行.
，
满足的关系式；
上恒成立，求
（
）