Question

已知函数f（x）=x²+2x+b（b∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c（c＞0）的解集为（k，k+6）（k∈R），求c的值；
（Ⅱ）当b=0时，m为常数，且0＜m＜1，1-m≤t≤m+1，求

f(t)-t2-t

f(t)-2t+1

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数f（x）的值域为[0，+∞），求出b的值，然后根据不等式的解集建立方程关系，求c的值；
（Ⅱ）将条件进行化简，利用导数研究函数的最值即可．

解答：解：（Ⅰ）由值域为[0，+∞），当x²+2x+b=0时有△=4-4b=0，即b=1．
则f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
由已知f（x）=（x+1）²＜c
解得-

c

＜x+1＜

c

，-

c

-1＜x＜

c

-1，
∵不等式f（x）＜c的解集为（k，k+6），
∴(

c

-1)-(-

c

-1)=2

c

=6，
解得c=9．
（Ⅱ）当b=0时，f（x）=x²+2x，
∴

f(t)-t2-t

f(t)-2t+1

=

t

t2+1

．
∵0＜m＜1，1-m≤t≤m+1，
∴0＜1-m≤t≤m+1＜2．
令g(t)=

t

t2+1

，则g′(t)=

1-t2

(t2+1)2

，
当0＜t＜1时，g'（t）＞0，g（t）单调增，
当1＜t＜2时，g'（t）＜0，g（t）单调减，
∴当t=1时，g（t）取最大值，g(1)=

1

2

．
∵g(1-m)-g(1+m)=

1-m

(1-m)2+1

-

1+m

(1+m)2+1

=

-2m3

[(1-m)2+1][(1+m)2+1]

＜0，
∴g（1-m）＜g（1+m）．
∴g(t)=

t

t2+1

的范围为[

1-m

(1-m)2+1

，

1

2

]．

点评：本题主要考查不等式的应用，以及利用导数研究函数的性质，综合性较强，考查学生的计算能力．