Question

在一次篮球练习中，规定每人最多投篮5次，若投中2次就为及格．若投中3次就为良好并停止投篮．已知甲每次投篮中的概率是

2

3

．
（1）求甲投了3次而不及格的概率．
（2）设甲投篮中的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．

Answer 1

分析：（1）甲投3次而不及格，即前3次中只有1次投中或者3次都没有投中，其概率为P=(

1

3

)3+

C

1 3

(

1

3

)2

2

3

，运算求得结果．
（2）依题意，ξ的可以取值0，1，2，3，分别求得可得P（ξ=0）、P（ξ=1）、P（ξ=2）、P（ξ=3）的值，可得随机变量ξ的概率分布列及数学期望E（ξ）．

解答：解：（1）甲投3次而不及格，即前3次中只有1次投中或者3次都没有投中，其概率为P=(

1

3

)3+

C

1 3

(

1

3

)2

2

3

=

7

27

．…（4分）
（2）依题意，ξ的可以取值0，1，2，3，可得P(ξ=0)=(

1

3

)5=

1

243

，p(ξ=1)=

C

1 5

(

1

3

)4

2

3

=

10

243

，p(ξ=2)=

C

2 5

(

1

3

)3(

2

3

)2=

40

243

，
P（ξ=3）=(

2

3

)3+

C

2 3

•(

2

3

)2•

1

3

•

2

3

+

C

2 4

•(

2

3

)2•(

1

3

)2•

2

3

=

64

81

，…（8分）
所以，随机变量ξ的概率分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	1 243	10 243	40 243	64 81

…（10分）
所以数学期望 E（ξ）=0×

1

243

+1×

10

243

+2×

40

243

+3×

64

81

=

74

27

…（12分）

点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的期望，属于中档题．