Question

【题目】设函数，，．

（1）若函数有两个零点，试求的取值范围；

（2）证明．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，判断函数g（x）的单调性结合函数零点的个数确定a的范围即可；（2）设h（x）=（x﹣1）ex﹣ln（x﹣1）﹣x﹣1，其定义域为（1，+∞），只需证明h（x）≥0即可，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而证出结论.

详解：（1）函数的定义域为，由已知得．

①当时，函数只有一个零点；

②当，因为， 当时，；当时，．

所以函数在上单调递减，在上单调递增．又，，

因为，所以，所以，

所以，取，显然且

所以，．

由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．

③当时，由，得或．

当，则．当变化时，，变化情况如下表：

		0
		0	－	0
		－1

注意到，所以函数至多有一个零点，不符合题意．

当，则，在单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意．

若，则．当变化时，，变化情况如下表：

				0
		0	－	0
				－1

注意到当，时，，，

所以函数至多有一个零点，不符合题意．

综上，的取值范围是．

（2）证明：．

设，其定义域为，则证明即可．

因为，取，则

，且．

又因为，所以函数在上单增．

所以有唯一的实根，且．

当时，；当时，．所以函数的最小值为．

所以．

所以．