Question

20．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x-2）²+y²=3相切，则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{13}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{13}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1
• D． x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得$\frac{2b}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}=\sqrt{3}$，求出a，b的关系，结合焦点为F（2，0），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程．

解答 解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，
∵双曲线的渐近线与圆（x-2）²+y²=3相切，
∴$\frac{2b}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}=\sqrt{3}$，
∴b=$\sqrt{3}$a，
∵焦点为F（2，0），
∴a²+b²=4，
∴a=1，b=$\sqrt{3}$，
∴双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故选：D．

点评 本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a，b的值，是解题的关键．