题目内容

我们可以利用数列{a_n}的递推公式a_n=

n

，n为奇数

a

n

2

，n为偶数时(n∈N+)

求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a₂₁+a₂₅=

；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第

项．

分析：借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定．又通过前面的项发现项的值为5时，下角码是首项为5，公比为2的等比数列．即可求出第8个5在该数列中所占的位置．

解答：解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…
∴a₂₁+a₂₅=21+25=46．
又因为a₅=5，a₁₀=5，a₂₀=5，a₄₀=5…
即项的值为5时，下角码是首项为5，公比为2的等比数列．
所以第8个5是该数列的第5×2^8-1=640项．
故答案为：46，640．

点评：本题是对数列递推公式应用的考查．解题时要认真审题，仔细观察规律，避免错误．

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已知函数f(x)=

(a∈R)，
（1）证明函数y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称图形；
（2）当x∈[a+1，a+2]时，求证：f（x）∈[-2，-

]；
（3）我们利用函数y=f（x）构造一个数列{x_n}，方法如下：对于给定的定义域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述构造数列的过程中，如果xi（i=2，3，4，…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果x_i不在定义域中，则构造数列的过程停止．
（i）如果可以用上述方法构造出一个常数列{x_n}，求实数a的取值范围；
（ii）如果取定义域中任一值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}，求实数a的值．

若数列{a_n}，{b_n}中，a₁=a，b₁=b，

an=-2an-1+4bn-1

bn=-5an-1+7bn-1

，（n∈N，n≥2）．请按照要求完成下列各题，并将答案填在答题纸的指定位置上．
（1）可考虑利用算法来求a_m，b_m的值，其中m为给定的数据（m≥2，m∈N）．右图算法中，虚线框中所缺的流程，可以为下面A、B、C、D中的

（请填出全部答案）
A、

（2）我们可证明当a≠b，5a≠4b时，{a_n-b_n}及{5a_n-4b_n}均为等比数列，请按答纸题要求，完成一个问题证明，并填空．
证明：{a_n-b_n}是等比数列，过程如下：a_n-b_n=（-2a_n-1+4b_n-1）+（5a_n-1-7b_n-1）=3a_n-1-3b_n-1=3（a_n-1-b_n-1）
所以{a_n-b_n}是以a₁-b₁=a-b≠0为首项，以

为公比的等比数列；
同理{5a_n-4b_n}是以5a₁-4b₁=5a-4b≠0为首项，以

为公比的等比数列
（3）若将a_n，b_n写成列向量形式，则存在矩阵A，使

，请回答下面问题：
①写出矩阵A=

-2	4
-5	7

-2	4
-5	7

； ②若矩阵B_n=A+A²+A³+…+Aⁿ，矩阵C_n=PB_nQ，其中矩阵C_n只有一个元素，且该元素为B_n中所有元素的和，请写出满足要求的一组P，Q：

1
1

1
1

； ③矩阵C_n中的唯一元素是

．
计算过程如下：

（2012•虹口区一模）已知S_n是数列{a_n}的前n项和，2Sn=Sn-1-(

)n-1+2（n≥2，n∈N^*），且a1=

．
（1）求a₂的值，并写出a_n和a_n+1的关系式；
（2）求数列{a_n}的通项公式及S_n的表达式；
（3）我们可以证明：若数列{b_n}有上界（即存在常数A，使得b_n＜A对一切n∈N^*恒成立）且单调递增；或数列{b_n}有下界（即存在常数B，使得b_n＞B对一切n∈N^*恒成立）且单调递减，则

bn存在．直接利用上述结论，证明：

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，(，)，且．

(1)求a₂的值，并写出a_n和a_n+1的关系式；

(2)求数列{a_n}的通项公式及S_n的表达式；

(3)我们可以证明：若数列{b_n}有上界(即存在常数A，使得b_n＜A对一切n∈N^*恒成立)且单调递增；或数列{b_n}有下界(即存在常数B，使得b_n＞B对一切n∈N^*恒成立)且单调递减，则存在．直接利用上述结论，证明：存在．

已知S_n是数列{a_n}的前n项和， $数学公式$ （n≥2，n∈N^），且 $数学公式$ ．
（1）求a₂的值，并写出a_n和a_n+1的关系式；
（2）求数列{a_n}的通项公式及S_n的表达式；
（3）我们可以证明：若数列{b_n}有上界（即存在常数A，使得b_n＜A对一切n∈N^恒成立）且单调递增；或数列{b_n}有下界（即存在常数B，使得b_n＞B对一切n∈N^*恒成立）且单调递减，则 $数学公式$ 存在．直接利用上述结论，证明： $数学公式$ 存在．