题目内容

已知S_n是数列{a_n}的前n项和， $数学公式$ （n≥2，n∈N^），且 $数学公式$ ．
（1）求a₂的值，并写出a_n和a_n+1的关系式；
（2）求数列{a_n}的通项公式及S_n的表达式；
（3）我们可以证明：若数列{b_n}有上界（即存在常数A，使得b_n＜A对一切n∈N^恒成立）且单调递增；或数列{b_n}有下界（即存在常数B，使得b_n＞B对一切n∈N^*恒成立）且单调递减，则 $数学公式$ 存在．直接利用上述结论，证明： $数学公式$ 存在．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
∴2S₂=S₁ $\text{[math]}$ +2
∴ $\text{[math]}$ ．
当n≥2时， $\text{[math]}$ ①；
$\text{[math]}$ ②
②-①得 $\text{[math]}$ ．
又 $\text{[math]}$ ，即n=1时也成立．
∴ $\text{[math]}$ （n∈N^*）…（5分）
解：（2）由（1）得 $\text{[math]}$ ，2a₁=1，
∴{2ⁿa_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴2ⁿa_n=1+（n-1）×1=n，
∴ $\text{[math]}$ ，n≥2时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ，也满足上式，
∴ $\text{[math]}$ （n∈N^*）…（10分）
证明：（3）∵ $\text{[math]}$ ，
∴{S_n}单调递增，
又 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 存在…（15分）
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，令n=2可求a₂，利用a_n+1=S_n+1-S_n可求出a_n和a_n+1的关系式
（2）由（1）可构造得{2ⁿa_n}是首项为1，公差为1的等差数列，可先求2ⁿa_n，进而可求a_n，s_n
（3）由S_n+1-S_n的差的符号可判断单调性，结合单调性可判断其的上界，可证
点评：本题主要考查了数列的递推公式在数列通项公式求解中的应用，及构造等差数列求解通项的应用，数列的单调性在数列的范围求解中的应用