Question

【题目】设 ，对任意x∈R，不等式a（cos2x﹣m）+πcosx≥0恒成立，则实数m的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣3]
【解析】解：∵ ，表示y= 在[0，1]上的积分，也得圆面积的四分之一， ∴a= ×π，
∴对任意x∈R，不等式 （cos2x﹣m）+πcosx≥0恒成立，
可得m≤cos2x+4cosx在x∈R上恒成立，cosx∈[﹣1，1]，
求出cos2x+4cosx的最小值即可，cos2x+4cosx=（cosx+2）2﹣4，
∵函数开口向上，cosx∈[﹣1，1]，
函数f（cosx）=cos2x+4cosx在[﹣1，1]上增函数，当cosx=﹣1时取得最小值，可得（﹣1）2+4×（﹣1）=﹣3，
∴cos2x+4cosx的最小值为﹣3，
∴m≤﹣3，
所以答案是（﹣∞，﹣3]；
【考点精析】利用定积分的概念对题目进行判断即可得到答案，需要熟知定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限．