Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，四边形为菱形， 为正三角形，且分别为的中点， 平面， 平面．

（1）求证： 平面；

（2）求与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）证明：AD⊥平面PEB，利用四边形ABCD为菱形，可得AD∥BC，即可证明BC⊥平面PEB；
（2）以E为原点，建立坐标系，求出平面PDC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求EF与平面PDC所成角的正弦值．

试题解析：

（1）证明：因为平面， 平面，

所以，

又平面平面，所以平面，

由四边形菱形，得，

所以平面．

（2）解：

以为原点， 分别为轴建立空间直角坐标系，

不妨设菱形的边长为2，则，

，

则点，

，

设平面的法向量为，

则由，解得，

不妨令，得；

又，

所以与平面所成角的正弦值为．