题目内容

在平面直角坐标系xoy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(b＜1)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．

(Ⅰ)求圆C的方程；

(Ⅱ)设定点A是圆C经过的某定点(其坐标与b无关)，问是否存在常数k，使直线y＝kx＋k与圆C交于点M，N，且|AM|＝|AN|．若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0　　2分

　　令y＝0得x2＋Dx＋F＝0这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b．

　　令x＝0得y2＋Ey＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1．

　　所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0　　6分

　　(Ⅱ)由于圆C经过定点A，所以关于b的方程(1－y)b＋x2＋y2＋2x－y＝0有无穷解，∴

　　∴圆C经过的定点A(0，1)或A(－2，1)　　8分

　　由于直线y＝kx＋k恒过定点(－1，0)在圆内，

　　所以直线与圆C有两个交点M，N　　9分

　　∵|AM|＝|AN|，∴点A在线段MN的垂直平分线上，

　　即AC与直线y＝kx＋k垂直　　10分

　　①若A(0，1)，则k·kAC＝－1，得

　　②若A(－2，1)，则k·kAC＝－1，得．

　　综上，　　12分


练习册系列答案
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在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在直线y=x+4上，半径为2
2
的圆C经过坐标原点O，椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）若F为椭圆的右焦点，点P在圆C上，且满足PF=4，求点P的坐标．
如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．若点A的横坐标是
3
5
，点B的纵坐标是
12
13
，则sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．
在平面直角坐标系xOy中，若焦点在x轴的椭圆
x2
m
+
y2
3
=1的离心率为
1
2
，则m的值为
4
4
．
（2013•泰州三模）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．设直线AC与BD的交点为P，求动点P的轨迹的参数方程（以t为参数）及普通方程．
（2013•东莞一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F1（-1，0），且椭圆C的离心率e=
1
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，Q是椭圆C上异于A1，A2的任一点，直线QA1，QA2分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值，并求出该定值；
（3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

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