Question

已知函数f（x）=xlnx
（Ⅰ）求f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）当x＞2时，f（x）＞kx-2k恒成立，求正整数k的最大值．（e为自然对数的底数，e≈2.71828…）

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函数的定义域，再求出原函数的导函数，得到导函数的零点后求出原函数的单调区间，然后根据t与

1

e

的关系分析原函数在[t，t+1]上的单调性，从而求出原函数的最小值；
（Ⅱ）把f（x）的解析式代入f（x）＞kx-2k，由f（x）＞kx-2k恒成立分离变量k，构造辅助函数后求导，对于导函数由函数零点存在定理得到零点所在区间，求出构造函数的最小值，再由最小值在导函数零点所在区间得到正整数k的最大值．

解答：解：（I）∵f（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），
由f'（x）=lnx+1=0，得：x=

1

e

．
当x∈(0，

1

e

)时，f'（x）＜0，当x∈(

1

e

，+∞)时，f'（x）＞0，
∴f（x）在(0，

1

e

)内单调递减，在(

1

e

，+∞)上单调递增．
∴当0＜t≤

1

e

时，f（x）在[t，t+1]上的最小值为f(

1

e

)=-

1

e

，
当t＞

1

e

时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，∴f（x）的最小值为tlnt．
∴f(x)min=

- 1 e ， 0＜t≤ 1 e tlnt， t＞ 1 e

；
（II）当x＞2时，f（x）＞kx-2k恒成立可转化为k＜

xlnx

x-2

恒成立，
令g(x)=

xlnx

x-2

，(x＞2)，g′(x)=

(lnx+1)(x-2)-xlnx

(x-2)2

=

-2lnx+x-2

(x-2)2

，
令h(x)=-2lnx+x-2，h′(x)=-

2

x

+1＞0，∴h（x）在（2，+∞）上单调递增，
∵h（5）=-2ln5+3＜0，h（6）=-2ln6+4＞0，
∴存在唯一的实数x₀∈（5，6），使h（x₀）=0，
即-2lnx₀+x₀-2=0，
当x∈（2，x₀）时，g'（x）＜0，当x∈（x₀，+∞）时，g'（x）＞0．
∴g（x）在（2，x₀）内单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，
∴g(x)min=g(x0)=

x0lnx0

x0-2

=

x0lnx0

2lnx0

=

x0

2

．
∵

5

2

＜

x0

2

＜3，∴正整数k的最大值为2．

点评：本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了导数在最大最小值中的应用，训练了函数构造法和分离变量法，解答此题的关键在于二次求导得到所构造函数的极值点所在的区间，是难度较大的题目．