Question

已知函数f（x）=

2x+3

3x

，数列{an}满足a1=1，an+1=f(

1

an

)，n∈N*．
（1）求为数列{a_n}的通项公式；
（2）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）²ⁿ⁺¹a_2na_2n+1，求T_n．
（3）令b_n=

1

an-1an

(n≥2)，b1=3，Sn=b1+b2+…+bn，若Sn＜

m-2008

2

对一切n∈N^*成立，求最小正整数m．

Answer 1

分析：（1）根据题意列出递推公式，再由等差数列的定义求通项公式a_n．
（2）根据式子的特点进行变形，然后由（1）知数列为等差数列求T_n．
（3）把a_n代入b_n整理后再裂项，然后求数列{b_n}的前n和s_n，再用放缩法和不等式恒成立问题，求m的值．

解答：解：（1）∵an+1=f(

1

an

)=

2 an +3

3 an

=

2+3an

3

=an+

2

3

∴{an}是以

2

3

为公差的等差数列
又a₁=1，∴an=

2

3

n+

1

3

…（4分）
（2）T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）²ⁿ⁺¹a_2na_2n+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）=-

4

3

(a2+a4+…+a2n)=-

4

3

•

n( 5 3 + 4n 3 + 1 3 )

2

=-

4

9

(2n2+3n)…（12分）
（3）当n≥2时，bn=

1

an-1an

=

2

( 2 3 n- 1 3 )( 2 3 n+ 1 3 )

=

9

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
又b1=3=

9

2

(1-

1

3

)∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

9

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

9

2

(1-

1

2n+1

)
=

9n

2n+1

…（9分）∵Sn＜

m-2008

2

对n∈N^*成立．
即

9n

2n+1

＜

m-2008

2

．

9n

2n+1

=

9

2

(1-

1

2n+1

)递增，
当b→∞时，

9n

2n+1

→

9

2

且

9n

2n+1

＜

9

2

．∴

m-2008

2

≥

9

2

，m≥2017．
∴最小正整数m=2017…（12分）

点评：本题的前两小题考查了等差数列的定义求和问题，最后一小题有一定的难度，用到了裂项相消法求和，处理不等式时用到了放缩法，使得不等式恒成立．