Question

【题目】已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为 ，若圆x2+y2=a2被直线x﹣y﹣=0截得的弦长为2

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）已知点A、B为动直线y=k（x﹣1），k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得 为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】试题分析：

(1)由题意求得a,b的值可得椭圆方程为；

(2)联立直线与椭圆的方程，结合题意可得，存在点 满足 为定值 .

试题解析：

解：（I）圆x2+y2=a2的圆心（0，0）到直线x﹣y﹣=0的距离d==1，

∴2=2，解得a2=2，又=，a2=b2+c2，

联立解得：a2=2，c=1=b．

∴椭圆C的标准方程为： +y2=1．

（II）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得为定值．

设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

则x1+x2=，x1x2=．

=（x1﹣m，y1）（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣1）（x2﹣1）=（1+k2）x1x2﹣（m+k2）（x1+x2）+m2+k2

=（1+k2）﹣（m+k2）+m2+k2

=，

令2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m=．

因此在x轴上存在定点M（，0），使得为定值．