Question

已知四面体ABCD中，，BC=DC=1，其余棱长均为2，且四面体ABCD的顶点A、B、C、D都在同一个球面上，则这个球的表面积是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由已知中四面体ABCD中，已知，，BC=DC=1，其余棱长均为2，我们设A在底面BCD上的射影为E，球的球心为O，利用解直角三角形，求出四面体ABCD外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求出四面体ABCD外接球的面积．
解答：解：设A在底面BCD上的射影为E，球的球心为O，如图．
由正弦定理得：2BE===2，
∴BE=1，
在直角三角形ABE中，AE=，
设OA=OB=R，在直角三角形BEO中，OB²=OE²+BE²，
即R²=1²+（-R）²，
∴R=
则这个球的表面积是4πR²=，
故选D．
点评：本题考查的知识点是棱锥的体积和球的表面积，其中计算外接球的半径，确定棱锥的高是关键，而求三棱锥的外接球表面积时，最难的问题是求外接球的半径．