Question

已知变换T 把平面上的点（1，0），（0，

2

）分别变换成点（1，1），（-

2

，

2

）．
（1）试求变换T对应的矩阵M；
（2）求曲线x²-y²=1在变换T的作用下所得到的曲线的方程．

Answer 1

分析：（1）先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可；
（2）先设P（x，y）是曲线x²-y²=1上的任一点，P₁（x′，y′）是P（x，y）在矩阵T对应变换作用下新曲线上的对应点，根据矩阵变换求出P与P₁的关系，代入已知曲线求出所求曲线即可．

解答：解：（1）设矩阵M=

a b c d

依题意得，

x′′ y′′

=

a b c d

x′ y′

→

x′=ax+by y′=cx+dy

，
∴（1，0）变换为（1，1）得：a=1，c=1，
（0，

2

） 变换为（-

2

，

2

） 得：b=-1，d=1
所求矩阵M=

1 -1 1 1

…（5分）
（2）变换T所对应关系

x′=x-y y′=x+y

解得

x= x′+y′ 2 y= y′-x′ 2

…（7分）
代入x²-y²=1得：x′y′=1，
故x²-y²=1在变换T的作用下所得到的曲线方程得xy=1 …（10分）

点评：本题主要考查来了逆矩阵与投影变换，以及计算能力，属于基础题．