Question

椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，2），离心率e=

6

3

． 
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l与椭圆相交于不同的两点M，N且P（2，1）为MN中点，求直线l的方程．

Answer 1

（1）∵椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，2），
∴b=2．
∵e=

c

a

=

6

3

和a2-b2 =c2．
∴联立上述方程可以解得a=2

3

．
∴椭圆的方程为

x2

12

+

y2

4

=1；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则

x12

12

+

y12

4

=1，

x22

12

+

y22

4

=1
两式相减，结合P（2，1）为MN中点，可得

4(x1-x2)

12

+

2(y1-y2)

4

=0
∴

y1-y2

x1-x2

=-

2

3

∴直线l的方程为y-1=-

2

3

（x-2），即2x+3y-7=0．